錯誤，是一種數(shù)學課堂教育契機

　　[內容摘要]學習錯誤源于學習活動本身，直接反映了學生學習的情況。教師應善于利用課前預設錯誤資源，善于捕捉課中錯誤資源，善于課后反思錯誤資源，將學生的學習錯誤當作一種教育的契機，讓錯誤變成寶貴的課堂教學資源。

　　[關鍵詞]錯誤 教育契機 反思

　　《數(shù)學課程標準》指出：“在數(shù)學教學活動中，“錯誤”往往是教師在教學中和學生在學習過程中，反映在各方面，出現(xiàn)違反教學結論或數(shù)學方法的現(xiàn)象。”在數(shù)學課堂上，每天都有學生在出錯。認知心理學派認為：錯誤是學習的必然產(chǎn)物，學生的知識背景、思維方式、情感體驗、表達形式往往和成人截然不同，他們在學習過程中出現(xiàn)各種各樣的錯誤是十分正常的。課堂是學生出錯的地方，出錯是學生的權力．心理學家蓋耶認為：誰不考慮嘗試錯誤，不允許學生犯錯誤，就將錯過最富成效的學習時刻。我們要善待學生的“錯誤”，抓住這種數(shù)學教育契機，讓錯誤變成寶貴的教學資源。那么，如何認識和對待教學過程中反映出來的錯誤呢？在我看來：

　　一、 課前鋪墊錯誤——預設精彩的課堂

　　英國心理學家貝恩布里奇說：“錯誤人皆有之，作為教師不利用是不可原諒的。”是的，“問渠哪得清如許，為有源頭活水來”。我們不僅要寬容錯誤，更要挖掘利用好學生的錯誤資源，學生對新知理解常常會遇到一些常見的、易犯的錯誤，盡管老師反復講解，多次強調，總有些學生不能徹底改正、往往一錯再錯，這些情況教師通過認真鉆研教材，根據(jù)學生發(fā)生錯誤的規(guī)律，憑借教學經(jīng)驗，可以預測學生學習某知識時可能發(fā)生哪些錯誤。在課堂教學中運用形形色色的“錯誤”資源，讓學生在思索、討論中展現(xiàn)多姿多彩的課堂。

　　1、顯示錯誤，防患未然

　　“數(shù)學學習與學生的身心發(fā)展”研究表明：每個學生都有分析、解決問題和創(chuàng)造的潛能，都有一種與生俱來的把自己當成探索者、研究者、發(fā)現(xiàn)者的本能。在數(shù)學教學活動中，學生是活動的主體，而學生犯錯的過程就是一種嘗試和創(chuàng)新的過程。在課堂教學過程中，如果我們能故意制造一些美麗的錯誤并主動呈現(xiàn)錯誤，引導學生從自己的認識角度，憑借自己已掌握的數(shù)學知識找錯、知錯和改錯，讓學生產(chǎn)生強烈的糾錯欲望，讓學生在“嘗試錯誤”的過程中比較、判斷、思考、甚至引發(fā)爭議。讓學生在錯誤中反思，在反思中探究，從而讓學生了解并改正，預先實行控制。那么課堂就會展現(xiàn)出它真實、精彩的魅力，學生也因此興趣盎然。

　　學完《圓的認識》，出示判斷：“圓的直徑是半徑的2倍”讓大家明白必須要在“同一個圓中”的前提下才能成立。出示“圓的直徑是半徑的2倍，那直徑和半徑必須在同一個圓中。”讓學生先思考，再用畫圖來驗證，使之理解其正命題、逆命題的邏輯關系。學完《面積單位》后，練習填寫單位時，不僅僅出現(xiàn)“我們的教室大約是25（  ）”之類的面積單位，還出現(xiàn)“教室的黑板高2（  ）”等長度單位的習題，以加強對單位意義的理解。這樣，老師主動出示題目顯示錯誤，讓學生在議錯、辨錯，進一步理解知識，既控制了可能發(fā)生的錯誤，防患于未然，把錯誤消滅在萌芽狀態(tài)，又提高了學生分析和解決問題的能力。

　　2、誘導錯誤，引發(fā)深思

　　音樂界有這樣一個故事，世界著名指揮家小澤征爾當初參加一次世界性的比賽時，曾連續(xù)三次中斷了指揮，因為他認定樂譜中出現(xiàn)了“錯誤”。其實，這正是評委們故意設下的“陷阱”。事實上，對這個“陷阱”的大膽否定，正驗證了小澤征爾作為音樂指揮家的真正實力。教師也應善于恰當設置一些這樣的“陷阱”，甚至誘導學生“犯錯”，使其“上當”，當他們落入“陷阱”而還陶醉在“成功”的喜悅中時，指出他們的錯誤，并通過正誤辯析，讓他們從錯誤中猛醒過來，記取教訓，往往能收到“吃一塹長一智”的效果。由于高度的情感反差，伴隨著明顯的正誤對照，自然給學生留下深刻的印象。

　　如《面積與面積的單位》這節(jié)課當學生學會了用數(shù)方格的方法比較大小時，我故意設置“陷阱”：那下面就用我們剛才所學的本領來做一個數(shù)方格的游戲，游戲的規(guī)則是男同學數(shù)的時候，女同學閉上眼睛。女同學數(shù)的時候，男同學閉上眼睛。接下來男同學數(shù)了是8格，女同學數(shù)了是4格，所有同學都認為8格的長方形大，但出乎意外的是我拿出來的兩個長方形的面積是一樣大的。這時學生大呼“上當”，激烈的認知沖突使學生恍然大悟，悟出了“統(tǒng)一格子大小”的必要性，面積單位的出現(xiàn)可謂水到渠成。沒有教學諜諜不休的細碎講解，也沒有教師近乎武斷的“國際規(guī)定”，學生在教師精心設計“陷阱”中，自己領悟出了“規(guī)定”后面的“道理”。這樣學生走進了“陷阱”，又從“陷阱里”走了出來，繼續(xù)去尋找新的答案，真是“山窮水復疑無路，柳暗花明又一村。”

　　３、故意錯誤，引起質疑。

　　居里夫人上小學時，一次老師給同學們講：在一只裝滿水的杯子里放入一顆小石子水就會溢出來，但是放入一條金魚，水卻不會溢出來。放學后，居里夫人覺得老師的結論值得懷疑，就親自動手實驗，結果滿杯的水溢了出來。老師的一次故意“出錯”培養(yǎng)了居里夫人善于質疑的優(yōu)秀學習品質！其實，學生獲取數(shù)學知識的過程實際上就是不斷探究的過程，通過教師的主動呈現(xiàn)錯誤，讓學生的心理泛起了漣波，引起了學生的好奇心，課堂上老師有意“出錯”能有效地調節(jié)教學氣氛，讓平淡無奇的課堂變得更具誘惑力。

　　在教學圓錐的體積一課時，有一位老師讓學生分組做實驗：在空圓錐里裝沙子，然后倒入空圓柱中，看看幾次可以裝滿。各小組分頭操作，之后交流圓柱和圓錐之間的關系。結果答案層出不窮：有的學生說：“我們將空圓錐里裝滿沙子，然后倒入空圓柱中，三次正好裝滿，說明圓錐的體積是圓柱的三分之一。”有的學生說： “我們認為圓錐的體積是圓柱的四分之一。”還有的說：“我們不到三次就將圓柱裝滿了。”這個老師說：“答案怎么會各不相同呢？老師也來做一做，你們可要仔細觀察啊。”于是這位老師將空圓錐里裝滿沙子，倒入空圓柱中，一次，兩次。兩次正好裝滿。“圓錐的體積是圓柱的二分之一？怎么回事呢？難道是書上的結論有錯誤？”學生議論紛紛起來……老師又不失時機地問：“你們說怎么辦？”一位學生說：“老師你的圓柱太大了。我推薦你用這個空圓柱。”結果三次正好倒?jié)M。學生恍然大悟，原來老師制造了一個小小的錯誤，故意用了一個大圓柱。只有在等底等高的情況下，圓錐的體積才是圓柱的三分之一。

　　對于等底等高的概念，這位老師沒有回避，也沒有遮掩，而是故意暴露錯誤，并留給學生足夠的時間讓學生充分討論甚至發(fā)生爭論，進而引發(fā)探究。老師這樣的故意出錯，把學生引入矛盾的困惑境地，使他們對自己的認知產(chǎn)生懷疑、自主反思，從錯誤中吸取教訓，從失敗中找出原因，從而讓學生在糾正錯誤中開啟智慧，邁入知識的殿堂。

　　二、 課中捕捉錯誤——生成多姿的課堂

　　葉瀾教授在《重建課堂教學過程》一文中提到：“學生在課堂活動中的狀態(tài)，包括他們的學習興趣、注意力、合作能力、發(fā)表的意見和觀點、提出的問題與爭論乃至錯誤的回答等，都是教學過程中的生成性資源。” 課堂教學是一個動態(tài)生成的過程，學生的學習錯誤具有不可預見性，而這樣的錯誤又往往是學生思維的真實反映，蘊含著寶貴的“亮點”，讓學生充分展示思維過程，探求其產(chǎn)生錯誤的內在因素，則能有針對性地展開教學，有利于學生的自主建構。同時教師也要獨具慧眼，及時捕捉稍縱即逝的錯誤并巧妙運用于教學活動中，變學習錯誤為培養(yǎng)學生創(chuàng)新思維的契機，才會看到錯誤背后的成功，讓其發(fā)揮出應有的價值，折射出燦爛的光芒。

　　1、善待“錯誤”， 顯露思維

　　著名教育家卡爾??威特的教育秘訣之一，就是寬容地、理性地看待孩子的一切，包括“錯誤”。新的《數(shù)學課程標準》指出：“要關注學生在數(shù)學活動中所表現(xiàn)出來的情感與態(tài)度，幫助學生認識自我，建立信心。”良好的數(shù)學情感與態(tài)度是學生參與數(shù)學活動的重要動力，是克服困難和探索創(chuàng)新的力量源泉。學生學習中產(chǎn)生的錯誤,是一種來源于學生學習活動本身,具有特殊教育作用的學習材料。“錯誤”作為一種教學資源，只要合理利用，就也能較好地促進學生情感的發(fā)展。對激發(fā)學生的學習興趣，喚起學生的求知欲具有特殊的作用。

　　當學生在課堂上出現(xiàn)錯誤或產(chǎn)生問題時，作為教師，首先要本著以人為本的主體教育觀，尊重、理解、寬容出錯的學生，不斥責、挖苦學生。教師要從學生的視角看待這些錯誤，讓學生坦誠自己的想法，耐心傾聽他們的表述，不輕易否定學生的答案，錯了允許重答，答得不完整允許再想，不同的意見允許爭論。在這樣的課堂上學生沒有答錯題被老師斥責的憂慮，更沒有被同學恥笑的苦惱，他們在民主的氣氛中學習，思維活躍，敢說、敢做，敢問，勇于大膽創(chuàng)新，以健康向上的情感態(tài)度投入學習，體會到學習的樂趣，而且?guī)熒�的關系也非常融洽。這樣學生在教師的正確引導及鼓勵下，在錯誤面前敢于正視錯誤，挑戰(zhàn)錯誤，增強戰(zhàn)勝困難、學好數(shù)學的信心

　　2、關注“錯誤” ，引導辨析

　　古人云：人非圣賢，熟能無過。在課堂教學中，學生對知識的理解會出現(xiàn)各種各樣的錯誤，有的老師在學生出現(xiàn)錯誤時，采取“馬上制止”或“立即糾正”的方法，但這樣做卻不能達到防止錯誤的目的，也忽視了錯誤的價值�！墩n標》指出：數(shù)學課程的內容應該是現(xiàn)實的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的。以學生的真實錯誤為教學內容，讓學生通過 “嘗試錯誤”的活動，把解決問題的主動權還給學生，引導他們比較、思辨。讓他們自己明確產(chǎn)生錯誤的原因，知道改正的方法，體驗知識的內在聯(lián)系與區(qū)別，形成系統(tǒng)，避免以后不再犯類似的錯誤。

　　例如，在學習完“乘法分配律”之后，我出示練習（1）25+75×4（2）25×75×4，學生練習后出現(xiàn)了這樣兩種情況錯誤：甲—— 25+75×4=4×（25+75），乙—25×75×4=4×（25+75）出了這樣的錯誤，他們還覺得自己挺有道理。如果我們只是簡單的直接告訴他們，效果顯然是很不理想的，因為這樣錯誤往往還會再三地出現(xiàn)在我們所信任的好同學身上。為此，我抓住契機，巧妙地設定了甲、乙、丙（丙為正確方）三方，開展辯論賽，看哪方能勝出。我讓他們同時準備一段時間，用有力的數(shù)學語言、數(shù)學規(guī)律作為證據(jù)，證明自己的同時也反駁他方。同學們躍躍欲試、斗志昂揚，他們開展了激烈而深入的思考辨析活動。從后面的交流思辯中我們便可體驗到“不經(jīng)歷風雨，怎么見彩虹”的詩意哲理。如反駁甲、乙的丙方認為：乘法分配律是適用于兩個數(shù)的和或差與另一個數(shù)相乘的情境，他們又從側面或進行了更有力的論證：A——4×（25+75）=4×25+4×75與（1）、（2）的式子不一樣B ——直接計算（1）、（2）的式子我們也能證明甲乙兩方方法是不對的；C——（1）式子只能用一般計算方法，它不符合用乘法分配律的條件，（2）式子這題可以簡便運算25×75×4=（25×4）×75……可見，讓學生經(jīng)歷錯誤又何妨？學習是從問題開始的，甚至是從錯誤開始的。出錯了，課程才能生成，就是在這發(fā)自內在“更錯”欲望的驅使下的探究活動，才更能體現(xiàn)課堂的鮮活性、生成性。

　　3、將就“錯誤”， 因勢利導

　　《課標》指出：“人人學有價值的數(shù)學；人人都能獲得必需的數(shù)學；不同的人在數(shù)學上獲得不同的發(fā)展。”數(shù)學教學應最大限度地滿足每一個學生的需要，最大限度地開啟每一個學生的智慧潛能。而真實的課堂教學，學生不可能不出現(xiàn)錯誤，就因為有了這種、那種錯誤，我們教師就要考慮如何利用好這些“錯誤”化弊為利，我們也可以經(jīng)常針對學生的錯誤進行“將錯就錯”的訓練，這種“化錯為正”的方法，引導學生從正、反不同角度修改錯誤。這不僅能使不同層次的學生發(fā)現(xiàn)錯誤，提高學習的積極性，而且可以揚長補短，拓寬學生的思維，訓練了學生思維的靈活性和創(chuàng)造性。

　　如我在教學應用題時，出示一道練習“鉛筆有30支，比圓珠筆的3倍多6支，圓珠筆有多少支？”學生列出的算式有：①3×30＋6；②3×30－6；③（30＋6）÷3；④（30－6）÷3；⑤30÷3－6；⑥30×3＋6……解法很多，究竟誰對誰錯？通過學生合作，結合線段圖，學生很快“統(tǒng)一”了答案，①、④是正確的。這時，我“將錯就錯”，因勢利導：如果是其他算式，你能改變原題中的條件，改編出應用題嗎？學生的思維打開了，針對其他算式改編出應用題。這樣的“將錯就錯”，舉一反三，既豐富了知識，又拓展了思路，學生求異思維能力得到了提高。在數(shù)學教學過程中，教師如果從學生出現(xiàn)的錯誤做法出發(fā)，進行引導點撥，不僅能引出正確的想法，還可以“將錯就錯”，拓寬學生思維。同時也使我們的教學環(huán)節(jié)更加精彩，教學過程更加真實。

　　三、課后反思錯誤——共同成長的課堂

　　從心理學的角度來說，反思是指自己思維和學習、工作過程中的自我意識和自我監(jiān)控。反思是一種主動“再認識”的過程，是思維的高級形式。在新課程實施中，教師需要成為反思型教師，學生需要成為反思型學生。反思是一種習慣和意識，不斷的反思，才會不斷地進步。“教學相長”提醒我們要學會反思錯誤，師生在課堂中共同成長。

　　1. 學生反思，完善認知結構

　　荷蘭著名學者弗賴登塔爾說過：“反思是數(shù)學的重要活動，是數(shù)學活動的核心和動力。” 學生的錯誤不可能單獨依靠正面的示范和反復的練習得以糾正，必須有一個“自我否定”的過程，而“自我否定”又以自我反思作前提。在實際教學中，教師應幫助學生樹立糾錯追因意識，把學生的錯誤當作寶貴的教學資源，引導學生反思一下錯題錯在哪里？為什么錯？然后讓學生有針對性的糾錯，讓錯誤發(fā)揮最大的育人功效。我要求每位學生都準備一本“錯題集”，這是一條很好的培養(yǎng)學生反思習慣的途徑。每個人在做數(shù)學習題時，都會出現(xiàn)這樣那樣的錯誤，把這些錯誤記錄在一本專門的本子里。我定期從學生的“錯題集”中選出有代表性的錯題，在課堂上進行剖析，同時讓學生的解題思維充分暴露出來，然后，盡量詳盡地分析錯誤原因。在學生常犯錯誤的關鍵之處，經(jīng)常適時地引導學生去反思、回顧，這樣不僅可以培養(yǎng)學生批判性數(shù)學思維品質，又可以完善認知結構，形成系統(tǒng)。

　　2. 教師反思，促進專業(yè)成長。

　　杜威曾說過：“失敗是有教導性的，真正懂得思考的人，從失敗和成功中學得一樣多！” 課堂上，有些學生的錯誤是你根本預料不到的，有些錯誤在課堂上來不及處理的，在課后要靜靜地反思，教師要根據(jù)學生在課堂中學習新知所表現(xiàn)出來的錯誤，審視自己，進行反思，發(fā)現(xiàn)不足之處，采取及時有效的方法進行調整，修正自身的不足之處。課后，為了充分發(fā)揮“錯誤”在教學中的積極作用，我及時對學生理解新知識過程中，出現(xiàn)的典型錯誤及錯誤產(chǎn)生的原因、反饋矯正的對策進行搜集、整理、記錄。為了鞏固理解新知識，我將搜集的典型錯例制作成選擇題、連線題、問答題、判斷題等多種形式的題型進行對比練習、強化訓練，還把典型錯例課前準備題或成為新課的引入，這樣為學生更好理解新知識作好鋪墊。同時，通過寫教后小記等形式獲得反饋信息，進而在以后的教學過程中不斷優(yōu)化反饋策略。反思是為了更好地解決教學中的失誤尋找存在的問題，發(fā)現(xiàn)留下的遺憾，是教師自我教育、成長的最佳途徑。

　　3、文本反思，課外拓展延伸

　　《數(shù)學課程標準》中明確指出：“通過數(shù)學學習，應使學生在提出問題、分析問題、解決問題以及交流和反思等方面獲得發(fā)展。”反思是對所得出的結論進一步鍛煉和升華，是創(chuàng)造學習的一個重要組成部分。在學生反思、老師反思中難免還會留下一些遺憾，學生還可以從文本中吸取很多反思營養(yǎng)，在文本中去尋找其中一些的錯題，如錯題組成的基本練習、變式練習、拓展練習等多種形式的題型做為課后拓展延伸題，有困難同學之間可以互相討論，共同解決。通過對錯題進行找錯、議錯、糾錯使同學反思產(chǎn)生錯誤的原因，知道改正的方法。這樣可以進一步深化學生對所學知識建立的表象，以達到對知識的理解、掌握及應用，實現(xiàn)從感性知識到理性知識的升化。當然我們學生所學習文本中也會出錯，在鼓勵學生多看文本的同時，還要鼓勵學生提出不同看法，懷疑書本結論，鼓勵學生不拘泥于現(xiàn)成的知識，勇于海闊天空地“異想天開”，讓學生大膽發(fā)表自己的見解，將錯誤轉化為促進學習、促進探究的課程資源。這也為學生在日后的學習中不怕犯錯、敢于質疑問難、敢于挑戰(zhàn)權威，開展富有創(chuàng)造性的學習探究活動打下了良好的情感基礎。

　　總之，數(shù)學錯誤隨著數(shù)學學習的開始也產(chǎn)生著，對于錯誤，我們要站在數(shù)學價值的角度上重新審視，靈活的運用于數(shù)學教學當中，發(fā)揮數(shù)學錯誤最大限度的作用，挖掘內在的“閃光點”，對其新的探究與發(fā)現(xiàn)，為學生創(chuàng)設新的學習機會，提高教學質量，為學生的成長與發(fā)展提供新的教育契機。

　　參考文獻：

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　　3.雷玲. 聽名師講課. 廣西: 廣西教育出版社, 2004.

　　4.成尚榮：《教室，一個應允許出錯的地方》，《江蘇教育研究》2002年第12期